Resulta mejor conocido para el público como miembro regular de la compañía de actores de Hal Hartley. Tras graduarse por S.U.N.Y. Purchase, empezó a actuar en televisión en programas como As the World Turns, y Happy Days. Su debut cinematográfico se produjo con Los elegidos (The Chosen, 1981), y continuó con papeles en Se busca vivo o muerto (Wanted Dead or Alive, 1987) y en el film de danza y gran éxito de taquilla Lambada, fuego en el cuerpo (Lambada, 1990).

Más tarde, fue incorporado al reparto como protagonista del primer largometraje de Hal Hartley: La increíble verdad (The Unbelievable Truth, 1989). La película se granjeó comentarios favorables por la singular y distintiva sensibilidad de Hartley y las inexpresivas e irónicas interpretaciones de sus estrellas. Burke siguió con un papel secundario en El precio de la ambición (Rambling Rose, 1991), que fue nominada al Oscar; y con un papel protagonista, substituyendo a Peter Weller como el cyborg protector de la ley y el orden en Robocop 3 (Robocop 3, 1993).

El actor alterna entre películas independientes y proyectos de Hollywood. Nuevamente bajo las órdenes de Hartley, le hallamos protagonizando Simple Man (Simple Man, 1992); Flirt (Flirt, 1995); y No Such Thing (2001). Películas del primer circuito en su haber son la aventura infantil Un lugar muy lejano (A Far Off Place, 1993), protagonizada por Reece Witherspoon; y Tombstone: La leyenda de Wyatt Earp (Tombstone, 1993), protagonizada por Kurt Russell. También ha aparecido en El cielo y la tierra (Heaven and Earth, 1993), la tercera película sobre el Vietnam de Oliver Stone, y fue el maldito abogado obeso de Thinner (Thinner, 1996), de Stephen King.

Burke, demostrando su versatilidad tanto en comedia como en drama, apareció en Fugitivos encadenados (Fled, 1996), un film de presos esposados que se ven obligados a huir juntos, y protagonizó la historia de amor entre pantanos First Love, Last Rites (1997). El actor regresó a la televisión a finales de la década de los 90 con dos producciones muy aplaudidas de la HBO: la ambiciosa miniserie From the Earth to the Moon (1998), y el docudrama de guerra sobre el Vietnam A Bright Shining Lie (1998).