Reconocido actor británico y dos veces nominado a los Tony, se dio a conocer ante el público americano gracias a la obra de culto The Rocky Horror Picture Show que supuso su debut en el cine. Ha participado en numerosas películas como Los Angeles de Charlie, Scary Movie 2, The Scoundrels Wife, Addams Family Reunion, La Armada de McHale, Los Teleñecos en la Isla del Tesoro, Congo, La Sombra, Los Tres Mosqueteros, Con el Arma a Punto, Solo en Casa 2: Perdido en Nueva York, Passed Away, Oscar, La Caza del Octubre Rojo, Pass the Ammo, El Juego de la Sospecha, El Cluedo, Legend, The Ploughman's Lunch, Annie, Times Square y El Grito.
En la televisión, Curry ha aparecido en numerosas miniseries y telefilmes como Life of Shakespeare, donde dio vida a Will Shakespeare, y Attila de USA Network. Otros de sus trabajos en televisión incluyen: Jackies Back! de Lifetime, Titanic de la CBS, It de la ABC, The Worst Witch para la HBO y Oliver Twist, para la CBS.
También ha trabajado en numerosos films de la BBC como: Three Men in a Boat, dirigida por Stephen Frears, Napoleon and Love y Schmoedipus. Curry también ha trabajado en Over the Top, en la nueva versión de Family Affair, fue un asiduo de la serie Wiseguy y tuvo repetidos papeles en Rude Awakening y Earth 2 de Showtime. También ha acudido como invitado en el programa Saturday Night Live.
En teatro, Curry fue nominado a los Tony por su interpretación en Broadway de Mozart en Amadeus y por My Favourite Lady. En la escena de Londres, Curry ha participado en las obras The Pirates of Pedance y en las producciones del Royal National Theatre The Rivals, Love for Love y The Threepenny opera.
Curry actuó en las representaciones de The Rocky Horror Picture Show que tuvieron lugar en Londres, Los Angeles y Broadway.