Se graduó de la Academia Escocesa de Música y Drama y debutó en la película de Bill Forsyth "Being Human", con Robin Williams. Luego de una seguidilla de películas independientes, consiguió un papel principal regular en la serie británica dramática, "This Life".

Tras un papel en "The 13th Warrior", protagonizada por Antonio Banderas, este nativo de Glasgow, apareció en las películas de éxito internacional, "Gladiator" y "Blade II". Su primer papel principal fue el del Hombre Invisible "The League of Extraordinary Gentlemen", junto a Sean Connery. A eso le siguió la película del 2004, "The Flight of the Phoenix" en la que actuó junto a Dennis Quaid.

Los últimos trabajos de Curran en cine, fueron: "Underworld: Evolution" y la película de Michael Mann "Miami Vice". El recibió una postulación al premio británico Independent Film en el 2006, por su papel estelar en la película de Andrea Arnold "Red Road", la cual ganó el Premio del Jurado en el Festival de Cine de Cannes. Recientemente Curran ha terminado de filmar el programa piloto "Amped" y luego comenzará a trabajar en la película independiente "Shuttle".